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カタチはコトバ

待ちに待った昇進

住人:待ちに待った昇進

“Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses”

Schein and Gayed, PNAS 111: 2920-2925 (2014)

住人INFORMATION
ゴールドバーグの立体は、対称性の高い美しい立体です。頂点は3価で(頂点から3本の辺が出る)、面は三角形と六角形(四面体対称の場合)、または四角形と六角形(八面体対称の場合)、または五角形と六角形(二十面体対称の場合)です。簡単にイメージすると、正四面体(三角形x4)、正六面体(四角形x6)、正十二面体(五角形x12)から出発して、各面を互いに引き離して隙間を作り、そこに六角形を3価で対称的に加えて作ることができます。六角形の数はどんどん増やせますので、ゴールドバーグの立体は無限に続きます。中には、アルキメデスの立体も幾つか含まれていて(切頂四面体、切頂八面体、切頂二十面体)、これらは面が平坦で窪みのない立体(凸多面体)です。しかし、ほとんどの場合、正多角形でゴールドバーグの立体を作ると面が曲がってしまうのです(凸多面体ではない)。これでは、プラトンの立体、アルキメデスの立体、ケプラーの菱形多面体のような、辺の長さが同じで対称性が高い凸多面体の仲間に入れてもらえません。そこでこの論文は、辺の長さは同じに保ったまま、六角形の内角だけを調節することで、凸多面体が得られることを示しました。つまり、辺の長さが同じで対称性が高い新しいクラスの凸多面体がここに誕生しました。下の図は、論文に記載された六角形の内角を調節していない立体の例で、正三形と正六角形で作ることができる面が大きく曲がった四面体対称のゴールドバーグの立体です。*Goldberg (1937), Tohoku Math J 43: 104-108.  See also, Caspar and Klug (1962), Cold Spring Harb Symp Quant Biol 27: 1–24
部屋番号:V28[328]F16[34612]

ゴールドバーグの立体(四面体対称性)

構造INFORMATION
3価で三角形と六角形からなる四面体対称の立体です。正四面体から始まり、無限にあります。三角形は常に4つで、六角形の数が異なります。三角形の位置はちょうど正四面体の頂点部分にあたり、その間を六角形で均等に埋めた形です。大雑把に見ると正四面体のようです。一つの三角形をスタートして、隣り合う面づたいにm面直進し、60度向きを変えてn面直進すると、最寄りの三角形にたどり着きます。このとき、I型はmまたは n=0、II型はm=n、III型はm≠nです。III型のみ鏡像体があり、ねじれた外観です。特にII型とIII型は変化に富んでいて、ダイナミックに見えます。(m,n)=(1,0)はI型で正四面体です(V4[34]F4[34])。(m,n)=(1,1)はII型で切頂四面体です(V12[312]F8[3464])。図に示した (m,n)=(1,2)はIII型で、鏡像体は(m,n)=(2,1)です(ともにV28[328]F16[34612])。切頂四面体をひねったような形で、ひっくり返すと燃え上がる炎のように見えます。

多面体アパート

Class: 3deg 3gon 6gon

 

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